V = S = P • Nikolaj Avilov • Popularni znanstveni problemi o "Elementama" • Matematika

V = S = P

zadatak

Postoji li je konveksni polyhedron čije numeričke vrijednosti volumena, površine i zbroja duljina svih rubova podudaraju se?


pomoći

Takav poliedar postoji, na primjer, među ispravnim prizmama.


odluka

Slijedeći savjet, potražite odgovarajući prizmu. Točan prizmu određuje broj n strana poligona baze i visok h.

Zbroj duljina svih njegovih rubova je:

\ [P = 2na + nh. \]

Budući da je osnovni poligon redovit, njegovo područje, kako ga je lako pronaći, je \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \). Sada je lako pronaći ostatak parametara prizme koji se pojavljuju u problemu.

Njegov volumen V jednaka je:

\ \ \ Frac {\ pi} n \ cdot h \ \ \

Površina S jednaka je:

\ Frac {\ pi} n + nh \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Od ravnopravnosti V = S nalazimo da \ (a \ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \). dakle, h > 2. Također možete prepisati izraz za volumen u obliku \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} {h-2} \).

Od ravnopravnosti V = P odnosi \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) i

\ frac {4 (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4)} {(h-2 ) ^ 2} = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}. \

Jasno je da funkcija \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) na intervalu \ ((0; \; {+ \ infty}) \) uzima sve pozitivne vrijednosti ( nema drugih). Stoga je nužan i dovoljan uvjet za postojanje traženog prizma: ispunjavanje nejednakosti \ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n> 4 \), što vrijedi za \ (n> 12 \).


pogovor

Pogledajmo što se događa u sličnoj situaciji na avionu. Na primjer, na kvadratu 4 × 4 numeričke vrijednosti područja i perimetra su jednake. Istu imovinu posjeduje i pravokutnik 3 × 6 i desni trokut s nogama 5 i 12 (slika 1).

Sl. 1.

Kao što znate, pravokutnik nije krut lik: ako položite šarke na vrhove, one se neće sami fiksiraju (kao što se, primjerice, događa u slučaju trokuta ili tetraedra). Pomoću toga može se pokazati da postoji paralelogram s jednakim vrijednostima područja i perimetra. Lako je pronaći pravokutnik čije je područje veće od perimetra: pravokutnik s stranama 8 i 5. Ako postupno smanjite jedan od pravokutnika pravokutnika od 90 ° do 0 °, prvo će pravokutnik odmah pretvoriti u paralelogram, a perimetar ostaje 26 i drugo, njegovo područje kontinuirano će se smanjivati ​​s 40 na 0, te će u nekom trenutku postati jednako 26. To će biti potreban paralelniogram. Ovaj proces prikazan je u modelu pravokutnog okvira (slika 2). Jasno je da takvi paralelogrami su beskonačno mnogi.

Sl. 2.

Pokazujemo da postoji neizmjerno mnogo trokuta, u kojima su numeričke vrijednosti područja i perimetra jednake.Podijelimo sve trokuta u klase, od kojih svaki sadrži sve slične trokuta. Ispada da u svakoj takvoj klasi postoji trokut, u kojem su numeričke vrijednosti područja i perimetra jednake. Razmislite o jednom od trokuta klase. Neka bude njezino područje S1i obod je P1, a zatim sličan trokut s koeficijentom k ima površinu S2 = k2S1 i opseg P2 = kP1, Ako je kao koeficijent sličnosti uzeti k = P1/S1onda dobivamo trokut s \ (S_2 = P_2 = \ frac {P_1 ^ 2} {S_1} \). Ono što je bilo potrebno.

Na primjer, uzmite egipatski trokut. Njegova je perimetra \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \), a područje \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Trokut sličan njemu s koeficijentom sličnosti 2 imat će naznačeno svojstvo: to je pravokutni trokut s nogama 6 i 8 (sl. 3, lijevo). Također se mogu razmotriti jednodjelni trokuti. Među njima, potrebna imovina ima trokut sa stranom \ (4 \ sqrt % \): njegovo područje i obod su jednaki \ (12 \ sqrt % \).

Sl. 3.

Na sličan način se može tvrditi da u svakoj klasi sličnih poligona postoji ona u kojoj su numeričke vrijednosti područja i perimetra jednake.

U trodimenzionalnom prostoru, prirodno je dodati uvjet jednakosti volumena, kao što je to učinjeno u izjavi o problemu.Iz rješenja je jasno da ne svako "tip" polyhedron omogućuje jednakost volumena, površine i ukupne duljine rubova: među ispravnim nugljikov prizmi n <12 nema.

Konkretno, nema takve kocke i pravokutnog paralelopipeda (jer su to kvadrilateralni prizmi). Za takvu poliedru, međutim, lako je napraviti glavnu provjeru. Na primjer, za kocku to je učinjeno ovako. Kocka s rubom ima volumen V = 3površina S = 62 i zbroj duljina ruba P = 12, ako S = P, zatim 62 = 12to jest = 2. Ali onda S = P = 24, i V = 8.

Ipak, za neke poliedre, razlozi slični onima za trokut mogu raditi. Ako uzmemo u obzir sve poliedre poput ove, onda zbroj duljina rubova varira razmjerno prvome stupnju koeficijenta sličnosti, površina će biti proporcionalna drugom stupnju i volumen će biti proporcionalan trećem stupnju. To jest, problem se smanjuje na ovo pitanje: da li odgovarajuće crte, parabole i kocke presijecaju u jednom trenutku? Promjena oblika poliedra u takvoj formulaciji odgovara pomacima tih krivulja u ravnini.I vrlo je očito da se u nekim slučajevima mogu postaviti tako da se presijecaju u jednom trenutku. Ali je li moguće da nekako opravdano opišu svu relevantnu poliedru? … Ako imate ideje o ovoj temi – napišite komentare na problem!


Like this post? Please share to your friends:

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: